En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia la estructura algebraica conocida como grupo, que es un conjunto no vacío dotado de una operación interna. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, el estudio de sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas. El orden de un grupo es su cardinalidad; sobre la base de él, los grupos pueden clasificarse en grupos de orden finito o de orden infinito. La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX. Varios sistemas físicos, como los cristales y el átomo de hidrógeno, y el tres de las cuatro fuerzas fundamentales conocidas del universo, pueden modelarse mediante grupos de simetría. Así, la teoría de grupos y la teoría de la representación, estrechamente relacionada con ella, tienen muchas aplicaciones importantes en física, química y ciencia de los materiales. La teoría de grupos también es fundamental para la criptografía de clave pública.